Гость |
Главная страница→Предметы→Признаки делимости
Признаки делимости натуральных чисел
Практически, можно говорить, что в школе изучаются признаки делимости только на 2, 3, 5, 10 (100...).
Иногда на 4 и 6.
Часть приведенных в таблице признаков являются авторскими.
n — делимое, p — делитель; n|p означает, что n делится на p без остатка
Число (p) | Математическое объяснение | Пояснение, пример |
2 | n|2, когда последняя цифра числа n делится на 2 | Последняя цифра четная или ноль |
3 | n|3, когда сумма цифр числа n делится на 3 | Надо не складывать, а отбрасывать цифры или их суммы, делящиеся на 0 |
5 | n|5, когда последняя цифра числа n делится на 5 | Последняя цифра — ноль или 5 |
6 | n|6, когда n|2 и n|3 | — |
7 | См. 7, 11, 13 | — |
9 | n|9, когда сумма цифр числа n делится на 9 | См. 3 |
10 | n|10, когда число n оканчивается на ноль | — |
11 | 1) См. 7, 11, 13 2) разность суммы всех цифр, стоящих на четных местах, и суммы всех цифр, занимающих нечетные места, равна нулю либо числу, кратному 11 3) Разбиваем n справа налево на грани по две цифры в каждой и складываем. Если полученная сумма делится на 11, то и n кратно 11 | В двузначном числе оба разряда равны: 99. |
13 | См. 7, 11, 13 | — |
19 | n|19, если число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19 | Для чисел >100 нужно повторять несколько раз |
37 | n|37, когда (3n)|111 | Только для n, не делящегося на 3! |
101 | n|101, когда разность между числом, выраженным всеми цифрами числа n, кроме двух последних, и числом, выраженным двумя последними цифрами, делится на 101 или равно 0. Действие может повторяться несколько раз, если n большое. | Когда в числе не более 4 разрядов, то число, выраженное последними двумя цифрами, равно числу, выраженному остальной частью: 1515, 93930, 1 056 864 |
111 | n|111, когда сумма числа, выраженного тремя последними цифрами числа n, и числа, выраженного остальными цифрами, делится на 111. Действие может повторяться несколько раз, если n большое. | 111 = 37·3 В трехзначном числе все разряды равны: 444. 6105, 14874, 1 161 504 |
7, 11, 13 | n|{7, 11, 13}, когда разность между числом, выраженным тремя последними цифрами числа n, и числом, выраженным остальными цифрами n, делится на k или равна 0. | См. также 1001 |
1001 | n|1001, когда разность между числом, выраженным всеми цифрами числа n, кроме трех последних, и числом, выраженным тремя последними цифрами, делится на 1001 или равно 0. | 1001 = 7·11·13 1 022 021 = 1021 Когда в числе не более 6 разрядов, то число, выраженное первым классом, равно числу, выраженному вторым классом. Частное от деления равно классу. 456 456 = 456·1001 |
2m | m — натуральное число n|2m, когда на 2m делится m‑значное число, которое образуют m последних цифр числа n | |
5m | m — натуральное число n|5m, когда на 5m делится m‑значное число, которое образуют m последних цифр числа n | Легко использовать только для 52. Тогда число должно оканчиваться на {00, 25, 50, 75}. |
10m | m — натуральное число n|10m, когда число n оканчивается столькими же или более нулями, чем в числе k | 7000|{10, 100, 1000} |
Любое (признак Паскаля) | Если в десятичном разложении натурального числа n все степени числа десять заменить на сумму произведений 1) остатков, получающиеся при делении этих степеней на некоторое фиксированное число k; 2) число в соответствующем разряде, то в результате такой замены образуется число p, дающее точно такой же остаток при делении на k, что и число n | Число n = 153; n = 1·100 + 5·10 + 3; k = 17; 100/17 = 5 (ост.15); 10/17 = 0 (ост.10); число p = 1·15 + 5·10 + 3 = 68 делится на 17, значит и число n = 153 делится на 17. Алгоритм трудоемок, но может быть использован для решения многочисленных задач и лечь в основу более простых признаков делимости. |