Признаки делимости натуральных чисел

Практически, можно говорить, что в школе изучаются признаки делимости только на 2, 3, 5, 10 (100...).
Иногда на 4 и 6.

Часть приведенных в таблице признаков являются авторскими.

n — делимое, p — делитель; n|p означает, что n делится на p без остатка

Число (p) Математическое объяснение Пояснение, пример

2 n|2, когда последняя цифра числа n делится на 2 Последняя цифра четная или ноль

3 n|3, когда сумма цифр числа n делится на 3 Надо не складывать, а отбрасывать цифры или их суммы, делящиеся на 0

5 n|5, когда последняя цифра числа n делится на 5 Последняя цифра — ноль или 5

6 n|6, когда n|2 и n|3 —

7 См. 7, 11, 13 —

9 n|9, когда сумма цифр числа n делится на 9 См. 3

10 n|10, когда число n оканчивается на ноль —

11 1) См. 7, 11, 13
2) разность суммы всех цифр, стоящих на четных местах, и суммы всех цифр, занимающих нечетные места, равна нулю либо числу, кратному 11
3) Разбиваем n справа налево на грани по две цифры в каждой и складываем. Если полученная сумма делится на 11, то и n кратно 11 В двузначном числе оба разряда равны: 99.

13 См. 7, 11, 13 —

19 n|19, если число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19 Для чисел >100 нужно повторять несколько раз

37 n|37, когда (3n)|111 Только для n, не делящегося на 3!

101 n|101, когда разность между числом, выраженным всеми цифрами числа n, кроме двух последних, и числом, выраженным двумя последними цифрами, делится на 101 или равно 0. Действие может повторяться несколько раз, если n большое. Когда в числе не более 4 разрядов, то число, выраженное последними двумя цифрами, равно числу, выраженному остальной частью: 1515, 93930, 1 056 864

111 n|111, когда сумма числа, выраженного тремя последними цифрами числа n, и числа, выраженного остальными цифрами, делится на 111. Действие может повторяться несколько раз, если n большое. 111 = 37·3

В трехзначном числе все разряды равны: 444.
6105, 14874, 1 161 504

7, 11, 13 n|{7, 11, 13}, когда разность между числом, выраженным тремя последними цифрами числа n, и числом, выраженным остальными цифрами n, делится на k или равна 0. См. также 1001

1001 n|1001, когда разность между числом, выраженным всеми цифрами числа n, кроме трех последних, и числом, выраженным тремя последними цифрами, делится на 1001 или равно 0. 1001 = 7·11·13
1 022 021 = 1021
Когда в числе не более 6 разрядов, то число, выраженное первым классом, равно числу, выраженному вторым классом. Частное от деления равно классу.
456 456 = 456·1001

2^m m — натуральное число
n|2^m, когда на 2^m делится m‑значное число, которое образуют m последних цифр числа n

5^m m — натуральное число
n|5^m, когда на 5^m делится m‑значное число, которое образуют m последних цифр числа n Легко использовать только для 5². Тогда число должно оканчиваться на {00, 25, 50, 75}.

10^m m — натуральное число
n|10^m, когда число n оканчивается столькими же или более нулями, чем в числе k 7000|{10, 100, 1000}

Любое (признак Паскаля) Если в десятичном разложении натурального числа n все степени числа десять заменить на сумму произведений 1) остатков, получающиеся при делении этих степеней на некоторое фиксированное число k; 2) число в соответствующем разряде, то в результате такой замены образуется число p, дающее точно такой же остаток при делении на k, что и число n Число n = 153;
n = 1·100 + 5·10 + 3; k = 17; 100/17 = 5 (ост.15); 10/17 = 0 (ост.10); число p = 1·15 + 5·10 + 3 = 68 делится на 17, значит и число n = 153 делится на 17.
Алгоритм трудоемок, но может быть использован для решения многочисленных задач и лечь в основу более простых признаков делимости.

Copyright © 1993–2024 Мацкявичюс Д.А. Все права защищены.
Никакая часть сайта не может быть воспроизведена никаким способом без письменного разрешения правообладателя и явной ссылки на данный ресурс.
Медаль выдана сайту гимназии 1549 г.Москвы, в значительной степени состоявшему из представленных здесь авторских материалов

Медаль выдана сайту гимназии 1549 г.Москвы, в значительной степени состоявшему из представленных здесь авторских материалов

Число (p)	Математическое объяснение	Пояснение, пример
2	n\|2, когда последняя цифра числа n делится на 2	Последняя цифра четная или ноль
3	n\|3, когда сумма цифр числа n делится на 3	Надо не складывать, а отбрасывать цифры или их суммы, делящиеся на 0
5	n\|5, когда последняя цифра числа n делится на 5	Последняя цифра — ноль или 5
6	n\|6, когда n\|2 и n\|3	—
7	См. 7, 11, 13	—
9	n\|9, когда сумма цифр числа n делится на 9	См. 3
10	n\|10, когда число n оканчивается на ноль	—
11	1) См. 7, 11, 13 2) разность суммы всех цифр, стоящих на четных местах, и суммы всех цифр, занимающих нечетные места, равна нулю либо числу, кратному 11 3) Разбиваем n справа налево на грани по две цифры в каждой и складываем. Если полученная сумма делится на 11, то и n кратно 11	В двузначном числе оба разряда равны: 99.
13	См. 7, 11, 13	—
19	n\|19, если число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19	Для чисел >100 нужно повторять несколько раз
37	n\|37, когда (3n)\|111	Только для n, не делящегося на 3!
101	n\|101, когда разность между числом, выраженным всеми цифрами числа n, кроме двух последних, и числом, выраженным двумя последними цифрами, делится на 101 или равно 0. Действие может повторяться несколько раз, если n большое.	Когда в числе не более 4 разрядов, то число, выраженное последними двумя цифрами, равно числу, выраженному остальной частью: 1515, 93930, 1 056 864
111	n\|111, когда сумма числа, выраженного тремя последними цифрами числа n, и числа, выраженного остальными цифрами, делится на 111. Действие может повторяться несколько раз, если n большое.	111 = 37·3 В трехзначном числе все разряды равны: 444. 6105, 14874, 1 161 504
7, 11, 13	n\|{7, 11, 13}, когда разность между числом, выраженным тремя последними цифрами числа n, и числом, выраженным остальными цифрами n, делится на k или равна 0.	См. также 1001
1001	n\|1001, когда разность между числом, выраженным всеми цифрами числа n, кроме трех последних, и числом, выраженным тремя последними цифрами, делится на 1001 или равно 0.	1001 = 7·11·13 1 022 021 = 1021 Когда в числе не более 6 разрядов, то число, выраженное первым классом, равно числу, выраженному вторым классом. Частное от деления равно классу. 456 456 = 456·1001
2^m	m — натуральное число n\|2^m, когда на 2^m делится m‑значное число, которое образуют m последних цифр числа n
5^m	m — натуральное число n\|5^m, когда на 5^m делится m‑значное число, которое образуют m последних цифр числа n	Легко использовать только для 5². Тогда число должно оканчиваться на {00, 25, 50, 75}.
10^m	m — натуральное число n\|10^m, когда число n оканчивается столькими же или более нулями, чем в числе k	7000\|{10, 100, 1000}
Любое (признак Паскаля)	Если в десятичном разложении натурального числа n все степени числа десять заменить на сумму произведений 1) остатков, получающиеся при делении этих степеней на некоторое фиксированное число k; 2) число в соответствующем разряде, то в результате такой замены образуется число p, дающее точно такой же остаток при делении на k, что и число n	Число n = 153; n = 1·100 + 5·10 + 3; k = 17; 100/17 = 5 (ост.15); 10/17 = 0 (ост.10); число p = 1·15 + 5·10 + 3 = 68 делится на 17, значит и число n = 153 делится на 17. Алгоритм трудоемок, но может быть использован для решения многочисленных задач и лечь в основу более простых признаков делимости.