Сайт в процессе переноса на новый хостинг!!!

☰

Новости

Информатика

Латынь

СГО

ЕГЭ/ОГЭ

ВХК

Репетитор

Книги

Карта

Помощь

Главная страница→Предметы→Информатика→Системы счисления

Системы счисления

Реальное положение дел с изучением систем счисления в школе прекрасно описывается единственной цитатой: «Я вообще, не понимаю, зачем это нужно изучать, какой в этом практический смысл». Процитирован учитель информатики высшей квалификационной категории, бывший учитель математики высшей квалификационной категории, суммарный стаж превысил 25 лет. Выводы я оставлю на усмотрение читателей. Большинство других учителей принципиально не могут системно сформулировать ответ на этот искренний вопрос, отделываясь общими шаблонными словами.

В том числе из-за этого, как здесь, так и на других страницах, вы увидите постоянные указания на системы счисления или основанное на них выведение количества.

Разные народы в своем развитии использовали различные системы счисления. Отголоски древних способов счета встречаются и в современном мире. Так, из древнего Вавилона сохранилось деление часа на 60 минут, минуты — на 60 секунд, а угла на 360°; из Древнего Рима — римская запись чисел (I, II, III, IV...); от англосаксов — счет дюжинами (в году — 12 месяцев, в футе — 12 дюймов, сутки делятся на 2 периода по 12 часов).

В результате, самой удобной оказалась десятичная (десятеричная) система счисления, которая пришла из Индии. В ней десять цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), но информацию несет не только сама цифра, но также и позиция, в которой она стоит.

Основание системы счисления — количество различных символов или знаков, используемых для записи чисел (основание заложено в название системы счисления!). По общепринятым правилам, основание записывается в нижнем индексе после числа: 10₂ в двоичной, 10₃ в троичной,.. 10₁₀ в десятичной...

На практике изначально принимается, что существует 35 систем счисления с разными основаниями (9 цифровых от двоичной до десятичной и еще 26, где для обозначения новой цифры добавляются по одной буквы английского алфавита). В теории же, количество систем счисления равно количеству натуральных чисел, то есть бесконечно.

Алфавит системы счисления — перечень символов, используемых для записи чисел.

Так, для десятичной системы это будут приведенные выше 10 цифр, а для двоичной — только две (0 и 1).

Алфавит составляется из арабских цифр, начиная с нуля. Если знаков не хватает (например, шестнадцатеричная система), то берутся латинские буквы (A–F). Так как английских букв 26, то максимальной системой счисления, используемой без особых проблем, следует считать тридцатишестеричную (10+26). Это не является пределом (его нет в принципе). Для дальнейшей подстановки можно использовать любые знаки. Но, с современной компьютерной точки зрения можно признать пределом число знаков в Unicode-шрифте, то есть 65536 – 31 (65505).

Разрядная цифра — наименьшее число, которое может быть добавлено в данном разряде. С точки зрения систем счисления, разрядные цифры всегда записывают одинаково (единица и сколько-то нулей): 1, 10, 100, 1000... В реальном числе значение может превышать цифру, то есть получатся разрядные слагаемые. Так как в двоичной системе наибольшей цифрой является 1, разрядные цифры становятся единственным вариантом разрядных слагаемых.

Разрядное слагаемое — цифра, которая записана в конкретном разряде с добавлением к ней необходимого числа нулей. Важно, что предельное значение слагаемого зависит от системы счисления. Так, для второго разряда оно составит: 10 в двоичной, до 20 в троичной, до 30 в четверичной,... до 90 в десятичной...

Наиболее важными являются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления. Это связано с их использованием в математике и для компьютерного представления информации.

Двоичная система счисления в вычислительной технике используется в связи с тем, что электронные элементы — триггеры (переключатели), из которых состоят микросхемы, могут находиться только в двух рабочих состояниях (включено или выключено — ноль или единица). Восьмеричная связана с основным кодированием символов восемью битами, а шестнадцатеричная — так как информация при хранении чаще укрупняется до двух байтов (16 бит) и из-за появления Unicode-шрифтов.

Степени чисел в десятичной системе

Прежде чем приступать к обсуждению. В последние годы изучение данной темы как на информатике, так и на математике почти не обсуждается.

Для освоения систем счисления необходимо четкое и полное понимание использования степеней чисел, которое в курсе математики к моменту проведения первых уроков по системам счисления (зачастую 5–6 класс) изучается недостаточно полно (только квадрат и куб).

Несмотря на то, что степень числа может принимать любое значение, нас будет интересовать только натуральные и нулевая степени на примере десятичной системы.

Любое число в нулевой степени равно единице a⁰ = 1.
Любое число в первой степени равно самому себе a¹ = a.
aⁿ = .

Значения степеней, которые могут пригодится, приведены ниже.

Классификация систем счисления

Все современные системы можно разделить на два класса: непозиционные и позиционные.

В непозиционных системах (например, римской) значение знаков зависит от порядка их записи. Так, если I стоит перед V (IV), то это означает 5–1 = 4, а если после (VI), то это означает 5+1 = 6.

В позиционной системе, основным примером которой является повсеместно используемая десятичная, значение цифры четко зависит от ее положения (разряда). Например, число 333 записывается тремя одинаковыми цифрами, но значение их различается по четким правилам: три сотни, три десятка и три единицы (333=300+30+3).
Важно подчеркнуть, что возможна другая форма записи такого разложения:

333 = 300 + 30 + 3 = 3•10² + 3•10¹ + 3•10⁰.

Принято считать, что основание 10 возникло в соответствии с количеством пальцев у человека.

Сложение чисел

Первым и наиглавнейшим правилом нужно считать то, что арифметические действия с числами возможны только если они записаны в одной и той же системе счисления. Основных исключений два: числа 0 и 1 равны сами себе в любой системе счисления.

Складывать цифры разрядов надо по «давно забытому» правилу: если их сумма меньше предельной цифры (9 для десятичной системы), то их надо просто сложить. Если же сумма превышает эту максимальную цифру, то одно из слагаемых должно быть разложено на две части, одна из которых дополнит второе слагаемое до переполнения разряда (10 для десятичной). Пример: 7 + 6 = (7 + 3) + 3 = 10 + 3 = 13.

Перевод чисел

Данное действие можно считать самым простым из всех, относящихся к системам счисления. Каждая цифра числа образует слагаемое, которое надо записать, а потом произвести необходимые арифметические действия.

Прежде чем перейти к конкретным рассуждениям, надо отметить, что приводимые в заданиях числа, обычно не превышают 1024₁₀ или ненамного больше этого значения. Это связано с разумным ограничением сложности вычислений.

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2ⁿ	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
n₂*	1	10	100	1000	10000	100000	...

* Несложно заметить, что: какая степень, столько нулей записано в двоичном числе.

Любое из производимых действий будет замкнуто на эту таблицу!

В десятичную систему

Вне зависимости от обсуждаемой системы счисления, любое число можно разбить на разряды, каждый из которых вносит определенный вклад в значение числа. Общей закономерностью является то, что чем правее стоит цифра, тем меньшее значение она подразумевает.

В качестве первого примера рассмотрим число 1111_n

Доступ к этим материалам предоставляется только зарегистрированным пользователям!

В качестве второго примера рассмотрим число 1234_n

Доступ к этим материалам предоставляется только зарегистрированным пользователям!

Общая формула для перевода:

a₁*n⁰ + a₂*n¹ + a₃*n² + a₄*n³ + ... + a_k*n^k–1

где n — основание системы счисления, k — номер разряда числа.

Из десятичной системы

1. Остаток от деления

Последовательно делим число на основание до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Остатки записываем. После завершения вычислений записываем значения остатков в обратном порядке. Полученное число и будет ответом.

Разложим два числа: 23 и 64.

Делимое	Остаток	Смысл действия
23 10 5 2 1 0	1 1 1 0 1	23/2 = 22/2 + 1 = 11 + 1 11/2 = 5 + 1 5/2 = 4/2 + 1 = 2 + 1 2/2 = 1 + 0 1/2 = 0 + 1

23₁₀ = 10111₂

Делимое	Остаток	Смысл действия
64 32 16 8 4 2 1 0	0 0 0 0 0 0 1	64/2 = 32 + 0 32/2 = 16 + 0 16/2 = 8 + 0 8/2 = 4 + 0 4/2 = 2 + 0 2/2 = 1 + 0 1/2 = 0 + 1

64₁₀ = 1000000₂

В некоторых учебниках (например, Босовой) предлагается таблицу записи располагать горизонтально, что очень удобно для сравнительно небольших чисел (<2¹¹).

В верхней строке записывается число. Остаток от деления (в нашем случае на 2) записывается под ним, а целая часть частного — в следующей колонке.

Делимое 23 11 5 2 1

Остаток 1 1 1 0 1

Опять перепишем остатки в обратном порядке:
23₁₀ = 10111₂

Способом деления можно перевести число в любую систему счисления. Давайте переведем 44 в троичную систему.

Делимое 44 14 4 1

Остаток 2 2 1 1

44₁₀ = 1122₃

Трудно сказать, насколько комфортно ощущают себя люди, производящие привычное деление столь необычным образом. Лично я испытываю значительный дискомфорт, особенно при переводе не в двоичную систему.

Поэтому, давайте перейдем к другому, менее «магическому» способу.

2. Разложение

Как известно, любое число можно представить в виде суммы чисел.

Доступ к этим материалам предоставляется только зарегистрированным пользователям!

Таким образом становиться ясно, что для этих вычислений нужно

Доступ к этим материалам предоставляется только зарегистрированным пользователям!

Порядок действий на практике

Доступ к этим материалам предоставляется только зарегистрированным пользователям!

Пример 1. Переведем 900 в семеричную систему.

Доступ к этим материалам предоставляется только зарегистрированным пользователям!

Пример 2. Переведем 900 в пятеричную систему.

Доступ к этим материалам предоставляется только зарегистрированным пользователям!

Пример 3. Переведем 900 в двоичную систему.

Доступ к этим материалам предоставляется только зарегистрированным пользователям!

В связи с довольно большой трудоемкостью, данный метод едва ли можно назвать слишком простым для двоичной системы. Но он вполне понятен и, из-за необходимости четкой записи, всегда может быть легко проверен.

В некоторых случаях, когда число очень мало отличается от степени основания, перевод может оказаться значительно более быстрым, чем другие способы.

Доступ к этим материалам предоставляется только зарегистрированным пользователям!

Из двоичной в восьми- и шестнадцатеричную системы

Это действие является основным для многих заданий. К сожалению, большинство учебников предлагает зазубрить примерно следующий принцип.

Для перевода из двоичной системы счисления в восьмеричную следует разбить двоичное число по три разряда справа налево.

Необходимо заметить, что 8 = 2³, а 16 = 2⁴. Именно поэтому в приведенном правиле и используются группы по три разряда, а для перевода в 16-ричную потребуются уже 4 разряда.

Внимательный читатель может заметить, что еще осталось 4 = 2². То есть двоичную систему также легко можно преобразовать и в четверичную.

Отсюда же следует, что раз 9 = 3², то троичная система легко преобразуется в девятеричную, если разбить её число на пары.

Как это делается на практике.

Доступ к этим материалам предоставляется только зарегистрированным пользователям!

Факультативный материал по переводу в четверичную систему.

Доступ к этим материалам предоставляется только зарегистрированным пользователям!

Ответ: 1110110111011₂ = 1312323₄.

Из восьми и шестнадцатеричной систем в двоичную

Все также, как и в предыдущем разделе, только каждая цифра восьмеричного числа превращается в три двоичных цифры, а шестнадцатеричного — в четыре.

Типичной ошибкой является незаписывание ведущих нулей (10 вместо 010).

Некоторые советы и замечания

Доступ к этим материалам предоставляется только зарегистрированным пользователям!

Буквально пара слов о системах счисления и математике: сколько в числе нолей в конце, столько раз оно делится без остатка на основание системы.

Перевод десятичных дробей

Данный материал может потребоваться (а может и нет) для сдачи ЕГЭ и обучения в вузе.

Но, так как он всего лишь «присутствовал» в учебниках до ЕГЭ без должного объяснения и даже упоминания на экзамене, считаю необходимым вопрос полностью опустить. Без каких-либо дальнейших упоминаний.

Степени некоторых чисел

Степени числа 2

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

2ⁿ 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 524288 1 048 576

2ⁿ Результат Двоичное
представление
Нолей
(n)

Знаков
(n+1)
Значения
(штуки)

2⁰ 1 1 0 1 0–1 (2=2¹)

2¹ 2 10 1 2 0–3 (4=2²)

2² 4 100 2 3 0–7 (8=2³)

2³ 8 1000 3 4 0–15 (16=2⁴)

2⁴ 16 10000 4 5 0–31 (32=2⁵)

2⁵ 32 100000 5 6 0–63 (64=2⁶)

2⁶ 64 1000000 6 7 0–127 (128=2⁷)

2⁷ 128 10000000 7 8 0–255 (256=2⁸)

2⁸ 256 100000000 8 9 0–511 (512=2⁹)

Доступ к этим материалам предоставляется только зарегистрированным пользователям!

Степени некоторых чисел

Осно-
вание Степень

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1 024

3 1 3 9 27 81 243 729 2 187 6 561 19 683 59 049

4 (2²) 1 4 16 64 256 1 024 4 096 16 384 65 536 262 144

5 1 5 25 125 625 3 125 15 625 78 125 390 625

6 1 6 36 216 1 296 7 776 46 656 279 936

7 1 7 49 343 2 401 16 807 117 649 823 543

8 (2³) 1 8 64 512 4 096 32 768 262 144

9 (3²) 1 9 81 729 6 561 59 049 531 441

10 1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000

11 1 11 121 1 331 14 641 161 051

12 1 12 144 1 728 20 736 248 832

13 1 13 169 2 197 28 561 371 293

14 1 14 196 2 744 38 416 537 824

15 1 15 225 3 375 50 625 759 375

16 (2⁴) 1 16 256 4 096 65 536

Примечание. Исходя из соображений разумности, степени приведены до первого шестизначного числа.

Значения некоторых чисел в различных системах счисления

(Таблица дана не для решения заданий, а для упрощения понимания закономерностей прироста и сравнения чисел разных систем счисления.)

Основание

10 2 3 4 8 16

0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1

2 10 2 2 2 2

3 11 10 3 3 3

4 100 11 10 4 4

5 101 12 11 5 5

6 110 20 12 6 6

7 111 21 13 7 7

8 1000 22 20 10 8

9 1001 100 21 11 9

10 1010 101 22 12 A

11 1011 102 23 13 B

12 1100 110 30 14 C

13 1101 111 31 15 D

14 1110 112 32 16 E

15 1111 120 33 17 F

16 10000 121 100 20 10

17 10001 122 101 21 11

18 10010 200 102 22 12

19 10011 201 103 23 13

20 10100 202 110 24 14

Copyright © 1993–2024 Мацкявичюс Д.А. Все права защищены.
Никакая часть сайта не может быть воспроизведена никаким способом без письменного разрешения правообладателя и явной ссылки на данный ресурс.
Медаль выдана сайту гимназии 1549 г.Москвы, в значительной степени состоявшему из представленных здесь авторских материалов

Медаль выдана сайту гимназии 1549 г.Москвы, в значительной степени состоявшему из представленных здесь авторских материалов

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2ⁿ	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096	8192	16384	32768	65536	131072	262144	524288	1 048 576

2ⁿ	Результат	Двоичное представление	Нолей (n)	Знаков (n+1)	Значения (штуки)
2⁰	1	1	0	1	0–1 (2=2¹)
2¹	2	10	1	2	0–3 (4=2²)
2²	4	100	2	3	0–7 (8=2³)
2³	8	1000	3	4	0–15 (16=2⁴)
2⁴	16	10000	4	5	0–31 (32=2⁵)
2⁵	32	100000	5	6	0–63 (64=2⁶)
2⁶	64	1000000	6	7	0–127 (128=2⁷)
2⁷	128	10000000	7	8	0–255 (256=2⁸)
2⁸	256	100000000	8	9	0–511 (512=2⁹)

Осно- вание	Степень
Осно- вание	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1 024
3	1	3	9	27	81	243	729	2 187	6 561	19 683	59 049
4 (2²)	1	4	16	64	256	1 024	4 096	16 384	65 536	262 144
5	1	5	25	125	625	3 125	15 625	78 125	390 625
6	1	6	36	216	1 296	7 776	46 656	279 936
7	1	7	49	343	2 401	16 807	117 649	823 543
8 (2³)	1	8	64	512	4 096	32 768	262 144
9 (3²)	1	9	81	729	6 561	59 049	531 441
10	1	10	100	1 000	10 000	100 000	1 000 000
11	1	11	121	1 331	14 641	161 051
12	1	12	144	1 728	20 736	248 832
13	1	13	169	2 197	28 561	371 293
14	1	14	196	2 744	38 416	537 824
15	1	15	225	3 375	50 625	759 375
16 (2⁴)	1	16	256	4 096	65 536

Основание
10	2	3	4	8	16
0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1
2	10	2	2	2	2
3	11	10	3	3	3
4	100	11	10	4	4
5	101	12	11	5	5
6	110	20	12	6	6
7	111	21	13	7	7
8	1000	22	20	10	8
9	1001	100	21	11	9
10	1010	101	22	12	A
11	1011	102	23	13	B
12	1100	110	30	14	C
13	1101	111	31	15	D
14	1110	112	32	16	E
15	1111	120	33	17	F
16	10000	121	100	20	10
17	10001	122	101	21	11
18	10010	200	102	22	12
19	10011	201	103	23	13
20	10100	202	110	24	14