Признаки делимости натуральных чисел

Практически, можно говорить, что в школе изучаются признаки делимости только на 2, 3, 5, 10 (100...).
Иногда на 4 и 6.

Часть приведенных в таблице признаков являются авторскими.

n – делимое, p – делитель; n|p означает, что n делится на p без остатка
Число (p)Математическое объяснениеПояснение, пример
2n|2, когда последняя цифра числа n делится на 2Последняя цифра четная или ноль
3n|3, когда сумма цифр числа n делится на 3Надо не складывать, а отбрасывать цифры или их суммы, делящиеся на 0
5n|5, когда последняя цифра числа n делится на 5Последняя цифра – ноль или 5
6n|6, когда n|2 и n|3
7См. 7, 11, 13
9n|9, когда сумма цифр числа n делится на 9См. 3
10n|10, когда число n оканчивается на ноль
111) См. 7, 11, 13
2) разность суммы всех цифр, стоящих на четных местах, и суммы всех цифр, занимающих нечетные места, равна нулю либо числу, кратному 11
3) Разбиваем n справа налево на грани по две цифры в каждой и складываем. Если полученная сумма делится на 11, то и n кратно 11
В двузначном числе оба разряда равны: 99.
13См. 7, 11, 13
19n|19, если число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19Для чисел >100 нужно повторять несколько раз
37n|37, когда (3n)|111Только для n, не делящегося на 3!
101n|101, когда разность между числом, выраженным всеми цифрами числа n, кроме двух последних, и числом, выраженным двумя последними цифрами, делится на 101 или равно 0. Действие может повторяться несколько раз, если n большое. Когда в числе не более 4 разрядов, то число, выраженное последними двумя цифрами, равно числу, выраженному остальной частью: 1515, 93930, 1 056 864
111n|111, когда сумма числа, выраженного тремя последними цифрами числа n, и числа, выраженного остальными цифрами, делится на 111. Действие может повторяться несколько раз, если n большое. 111 = 37·3

В трехзначном числе все разряды равны: 444.
6105, 14874, 1 161 504
7, 11, 13n|{7, 11, 13}, когда разность между числом, выраженным тремя последними цифрами числа n, и числом, выраженным остальными цифрами n, делится на k или равна 0.См. также 1001
1001n|1001, когда разность между числом, выраженным всеми цифрами числа n, кроме трех последних, и числом, выраженным тремя последними цифрами, делится на 1001 или равно 0.1001 = 7·11·13
1 022 021 = 1021
Когда в числе не более 6 разрядов, то число, выраженное первым классом, равно числу, выраженному вторым классом. Частное от деления равно классу.
456 456 = 456·1001
2mm – натуральное число
n|2m, когда на 2m делится m‑значное число, которое образуют m последних цифр числа n
5mm – натуральное число
n|5m, когда на 5m делится m‑значное число, которое образуют m последних цифр числа n
Легко использовать только для 52. Тогда число должно оканчиваться на {00, 25, 50, 75}.
10mm – натуральное число
n|10m, когда число n оканчивается столькими же или более нулями, чем в числе k
7000|{10, 100, 1000}
Любое (признак Паскаля) Если в десятичном разложении натурального числа n все степени числа десять заменить на сумму произведений 1) остатков, получающиеся при делении этих степеней на некоторое фиксированное число k; 2) число в соответствующем разряде, то в результате такой замены образуется число p, дающее точно такой же остаток при делении на k, что и число n Число n = 153;
n = 1·100 + 5·10 + 3; k = 17; 100/17 = 5 (ост.15); 10/17 = 0 (ост.10); число p = 1·15 + 5·10 + 3 = 68 делится на 17, значит и число n = 153 делится на 17.
Алгоритм трудоемок, но может быть использован для решения многочисленных задач и лечь в основу более простых признаков делимости.


Copyright © 1993–2020 Мацкявичюс Д.А. Все права защищены.
Никакая часть сайта не может быть воспроизведена никаким способом без письменного разрешения правообладателя и явной ссылки на данный ресурс.